获取帮助¶
Sage 有大量的内置文档,可以通过输入函数或常量的名称,然后加上问号来访问:
sage: tan?
Type: <class 'sage.calculus.calculus.Function_tan'>
Definition: tan( [noargspec] )
Docstring:
The tangent function
EXAMPLES:
sage: tan(pi)
0
sage: tan(3.1415)
-0.0000926535900581913
sage: tan(3.1415/4)
0.999953674278156
sage: tan(pi/4)
1
sage: tan(1/2)
tan(1/2)
sage: RR(tan(1/2))
0.546302489843790
sage: log2?
Type: <class 'sage.functions.constants.Log2'>
Definition: log2( [noargspec] )
Docstring:
The natural logarithm of the real number 2.
EXAMPLES:
sage: log2
log2
sage: float(log2)
0.69314718055994529
sage: RR(log2)
0.693147180559945
sage: R = RealField(200); R
Real Field with 200 bits of precision
sage: R(log2)
0.69314718055994530941723212145817656807550013436025525412068
sage: l = (1-log2)/(1+log2); l
(1 - log(2))/(log(2) + 1)
sage: R(l)
0.18123221829928249948761381864650311423330609774776013488056
sage: maxima(log2)
log(2)
sage: maxima(log2).float()
.6931471805599453
sage: gp(log2)
0.6931471805599453094172321215 # 32-bit
0.69314718055994530941723212145817656807 # 64-bit
sage: sudoku?
File: sage/local/lib/python2.5/site-packages/sage/games/sudoku.py
Type: <... 'function'>
Definition: sudoku(A)
Docstring:
Solve the 9x9 Sudoku puzzle defined by the matrix A.
EXAMPLE:
sage: A = matrix(ZZ,9,[5,0,0, 0,8,0, 0,4,9, 0,0,0, 5,0,0,
0,3,0, 0,6,7, 3,0,0, 0,0,1, 1,5,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 2,0,8, 0,0,0,
0,0,0, 0,0,0, 0,1,8, 7,0,0, 0,0,4, 1,5,0, 0,3,0, 0,0,2,
0,0,0, 4,9,0, 0,5,0, 0,0,3])
sage: A
[5 0 0 0 8 0 0 4 9]
[0 0 0 5 0 0 0 3 0]
[0 6 7 3 0 0 0 0 1]
[1 5 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 2 0 8 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 8]
[7 0 0 0 0 4 1 5 0]
[0 3 0 0 0 2 0 0 0]
[4 9 0 0 5 0 0 0 3]
sage: sudoku(A)
[5 1 3 6 8 7 2 4 9]
[8 4 9 5 2 1 6 3 7]
[2 6 7 3 4 9 5 8 1]
[1 5 8 4 6 3 9 7 2]
[9 7 4 2 1 8 3 6 5]
[3 2 6 7 9 5 4 1 8]
[7 8 2 9 3 4 1 5 6]
[6 3 5 1 7 2 8 9 4]
[4 9 1 8 5 6 7 2 3]
>>> from sage.all import *
>>> tan?
Type: <class 'sage.calculus.calculus.Function_tan'>
Definition: tan( [noargspec] )
Docstring:
The tangent function
EXAMPLES:
>>> tan(pi)
0
>>> tan(RealNumber('3.1415'))
-0.0000926535900581913
>>> tan(RealNumber('3.1415')/Integer(4))
0.999953674278156
>>> tan(pi/Integer(4))
1
>>> tan(Integer(1)/Integer(2))
tan(1/2)
>>> RR(tan(Integer(1)/Integer(2)))
0.546302489843790
>>> log2?
Type: <class 'sage.functions.constants.Log2'>
Definition: log2( [noargspec] )
Docstring:
The natural logarithm of the real number 2.
EXAMPLES:
>>> log2
log2
>>> float(log2)
0.69314718055994529
>>> RR(log2)
0.693147180559945
>>> R = RealField(Integer(200)); R
Real Field with 200 bits of precision
>>> R(log2)
0.69314718055994530941723212145817656807550013436025525412068
>>> l = (Integer(1)-log2)/(Integer(1)+log2); l
(1 - log(2))/(log(2) + 1)
>>> R(l)
0.18123221829928249948761381864650311423330609774776013488056
>>> maxima(log2)
log(2)
>>> maxima(log2).float()
.6931471805599453
>>> gp(log2)
0.6931471805599453094172321215 # 32-bit
0.69314718055994530941723212145817656807 # 64-bit
>>> sudoku?
File: sage/local/lib/python2.5/site-packages/sage/games/sudoku.py
Type: <... 'function'>
Definition: sudoku(A)
Docstring:
Solve the 9x9 Sudoku puzzle defined by the matrix A.
EXAMPLE:
>>> A = matrix(ZZ,Integer(9),[Integer(5),Integer(0),Integer(0), Integer(0),Integer(8),Integer(0), Integer(0),Integer(4),Integer(9), Integer(0),Integer(0),Integer(0), Integer(5),Integer(0),Integer(0),
0,3,0, 0,6,7, 3,0,0, 0,0,1, 1,5,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 2,0,8, 0,0,0,
0,0,0, 0,0,0, 0,1,8, 7,0,0, 0,0,4, 1,5,0, 0,3,0, 0,0,2,
0,0,0, 4,9,0, 0,5,0, 0,0,3])
>>> A
[5 0 0 0 8 0 0 4 9]
[0 0 0 5 0 0 0 3 0]
[0 6 7 3 0 0 0 0 1]
[1 5 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 2 0 8 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 8]
[7 0 0 0 0 4 1 5 0]
[0 3 0 0 0 2 0 0 0]
[4 9 0 0 5 0 0 0 3]
>>> sudoku(A)
[5 1 3 6 8 7 2 4 9]
[8 4 9 5 2 1 6 3 7]
[2 6 7 3 4 9 5 8 1]
[1 5 8 4 6 3 9 7 2]
[9 7 4 2 1 8 3 6 5]
[3 2 6 7 9 5 4 1 8]
[7 8 2 9 3 4 1 5 6]
[6 3 5 1 7 2 8 9 4]
[4 9 1 8 5 6 7 2 3]
Sage 还提供了“Tab 补全”功能:输入函数的前几个字母,然后按下 Tab 键。
例如,如果你输入 ta 然后按下 Tab,Sage 会显示 tachyon, tan, tanh,
taylor。这是查找 Sage 中函数和其他结构名称的好方法。
函数、缩进和计数¶
在 Sage 中定义一个新函数,请使用 def 命令,并在变量名列表后加上冒号。例如:
sage: def is_even(n):
....: return n%2 == 0
sage: is_even(2)
True
sage: is_even(3)
False
>>> from sage.all import *
>>> def is_even(n):
... return n%Integer(2) == Integer(0)
>>> is_even(Integer(2))
True
>>> is_even(Integer(3))
False
注意:根据你查看的教程版本,你可能会在本例的第二行看到三个点 ....:。
请勿输入它们,它们只是为了强调代码的缩进。
在这种情况下,请在块末尾按 [Return/Enter] 以插入空行并结束函数定义。
你不需要指定输入参数的类型。
你可以指定多个输入,每个输入都可以有一个可选的默认值。
例如,如果未指定 divisor,则下面的函数默认值为 divisor=2。
sage: def is_divisible_by(number, divisor=2):
....: return number%divisor == 0
sage: is_divisible_by(6,2)
True
sage: is_divisible_by(6)
True
sage: is_divisible_by(6, 5)
False
>>> from sage.all import *
>>> def is_divisible_by(number, divisor=Integer(2)):
... return number%divisor == Integer(0)
>>> is_divisible_by(Integer(6),Integer(2))
True
>>> is_divisible_by(Integer(6))
True
>>> is_divisible_by(Integer(6), Integer(5))
False
调用函数时,你还可以显式地指定一个或多个输入;如果你显式地指定输入,可以以任意顺序给出它们:
sage: is_divisible_by(6, divisor=5)
False
sage: is_divisible_by(divisor=2, number=6)
True
>>> from sage.all import *
>>> is_divisible_by(Integer(6), divisor=Integer(5))
False
>>> is_divisible_by(divisor=Integer(2), number=Integer(6))
True
在 Python 中,代码块不是用大括号或其他语言中的开始和结束标记来表示的。
相反,代码块由缩进来表示,缩进必须完全匹配。
例如,以下是一个语法错误,因为 return 语句的缩进与上面的其他行不一致:
sage: def even(n):
....: v = []
....: for i in range(3,n):
....: if i % 2 == 0:
....: v.append(i)
....: return v
Syntax Error:
return v
>>> from sage.all import *
>>> def even(n):
... v = []
... for i in range(Integer(3),n):
... if i % Integer(2) == Integer(0):
... v.append(i)
... return v
Syntax Error:
return v
如果你修复了缩进,函数就可以正常工作:
sage: def even(n):
....: v = []
....: for i in range(3,n):
....: if i % 2 == 0:
....: v.append(i)
....: return v
sage: even(10)
[4, 6, 8]
>>> from sage.all import *
>>> def even(n):
... v = []
... for i in range(Integer(3),n):
... if i % Integer(2) == Integer(0):
... v.append(i)
... return v
>>> even(Integer(10))
[4, 6, 8]
行末不需要分号;在大多数情况下,行以换行符结束。但是,你可以在一行上放置多个语句,用分号间隔:
sage: a = 5; b = a + 3; c = b^2; c
64
>>> from sage.all import *
>>> a = Integer(5); b = a + Integer(3); c = b**Integer(2); c
64
如果你希望一行代码跨越多行,可以使用反斜杠:
sage: 2 + \
....: 3
5
>>> from sage.all import *
>>> Integer(2) + Integer(3)
5
在 Sage 中,你可以通过遍历整数区间来计数。
例如,下面代码的第一行与 C++ 或 Java 中的 for(i=0; i<3; i++) 完全一样:
sage: for i in range(3):
....: print(i)
0
1
2
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(3)):
... print(i)
0
1
2
下面代码的第一行与 for(i=2;i<5;i++) 等价。
sage: for i in range(2,5):
....: print(i)
2
3
4
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(2),Integer(5)):
... print(i)
2
3
4
第三个参数控制步长,所以下面代码与 for(i=1;i<6;i+=2) 等价。
sage: for i in range(1,6,2):
....: print(i)
1
3
5
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(1),Integer(6),Integer(2)):
... print(i)
1
3
5
通常你会希望创建一个漂亮的表格来显示你使用 Sage 计算的数字。 一个简单的方法是使用格式化字符串。 下面,我们创建三个宽度正好为 6 的列,并制作一个平方和立方的表格。
sage: for i in range(5):
....: print('%6s %6s %6s' % (i, i^2, i^3))
0 0 0
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(5)):
... print('%6s %6s %6s' % (i, i**Integer(2), i**Integer(3)))
0 0 0
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
Sage 中最基本的数据结构是列表,顾名思义,就是一个任意对象的列表。
例如,以下命令使用 range 创建一个列表:
sage: list(range(2,10))
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
>>> from sage.all import *
>>> list(range(Integer(2),Integer(10)))
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
下面是一个更复杂的列表:
sage: v = [1, "hello", 2/3, sin(x^3)]
sage: v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3)]
>>> from sage.all import *
>>> v = [Integer(1), "hello", Integer(2)/Integer(3), sin(x**Integer(3))]
>>> v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3)]
如如许多编程语言一样,列表的索引是从 0 开始。
sage: v[0]
1
sage: v[3]
sin(x^3)
>>> from sage.all import *
>>> v[Integer(0)]
1
>>> v[Integer(3)]
sin(x^3)
使用 len(v) 获取 v 的长度,
使用 v.append(obj) 将新对象追加到 v 的末尾,
使用 del v[i] 删除 v 的第 \(i\) 项:
sage: len(v)
4
sage: v.append(1.5)
sage: v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
sage: del v[1]
sage: v
[1, 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
>>> from sage.all import *
>>> len(v)
4
>>> v.append(RealNumber('1.5'))
>>> v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
>>> del v[Integer(1)]
>>> v
[1, 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
另一个重要的数据结构是字典(或关联数组)。 字典的工作方式类似于列表,但它可以用几乎任何对象来索引(索引必须是不可变的):
sage: d = {'hi':-2, 3/8:pi, e:pi}
sage: d['hi']
-2
sage: d[e]
pi
>>> from sage.all import *
>>> d = {'hi':-Integer(2), Integer(3)/Integer(8):pi, e:pi}
>>> d['hi']
-2
>>> d[e]
pi
你还可以使用类定义新的数据类型。
使用类封装数学对象是一种强大的技术,可以帮助简化和组织你的 Sage 程序。
下面,我们定义一个表示不超过 n 的正偶数列表的类;它从内置类型 list 派生而来。
sage: class Evens(list):
....: def __init__(self, n):
....: self.n = n
....: list.__init__(self, range(2, n+1, 2))
....: def __repr__(self):
....: return "Even positive numbers up to n."
>>> from sage.all import *
>>> class Evens(list):
... def __init__(self, n):
... self.n = n
... list.__init__(self, range(Integer(2), n+Integer(1), Integer(2)))
... def __repr__(self):
... return "Even positive numbers up to n."
__init__ 方法在创建对象时调用以初始化对象;
__repr__ 方法打印对象。
我们在 __init__ 方法的第二行调用列表构造函数。
下面我们创建 Evens 类的对象:
sage: e = Evens(10)
sage: e
Even positive numbers up to n.
>>> from sage.all import *
>>> e = Evens(Integer(10))
>>> e
Even positive numbers up to n.
注意,e 使用我们定义的 __repr__ 方法打印。
要查看底层数字列表,请使用 list 函数:
sage: list(e)
[2, 4, 6, 8, 10]
>>> from sage.all import *
>>> list(e)
[2, 4, 6, 8, 10]
我们还可以访问属性 n 或像列表一样操作 e。
sage: e.n
10
sage: e[2]
6
>>> from sage.all import *
>>> e.n
10
>>> e[Integer(2)]
6